Ciencia y Filosofía ISSN: 2594-2204, otoño-invierno 2021
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Artículo científico
DOI: 10.38128/cienciayfilosofa.v6i6.38
Ajuste lineal por mínimos cuadrados de funciones exponenciales en
datos experimentales: linealización de ecuaciones exponenciales
Linear least squares fit of exponential functions in experimental data:
linearization of exponential equations
Ajuste de funções exponenciais a dados experimentais pelo método dos
mínimos quadrados lineares: linearização de equações exponenciais
Jose Manuel Torres Valencia: ID. 0000-0002-1030-9680
Universidad Nacional Autónoma de México
Email: jmanueltova8@hotmail.com
Resumen.
Se aborda la necesidad de clarificar operaciones matemáticas aplicadas a datos
experimentales con comportamiento exponencial, especialmente en contextos de recursos
limitados. Se propone la linealización de ecuaciones exponenciales como herramienta
para diagnosticar comportamientos predictivos, destacando que no existe un único
método para ello, sino una pluralidad de enfoques que deben ser evaluados críticamente.
Desde una perspectiva filosófica, el autor cuestiona el abuso del método cuantitativo y la
reducción de la ciencia a una imagen del mundo basada únicamente en “datos duros”,
ignorando la complejidad y los contextos humanos. Se plantea que la comunicación
científica debe considerar la axiología de las políticas públicas y los impactos sociales y
ambientales, promoviendo una visión más holística e interdisciplinaria.
Metodológicamente, se contrastan diversas fuentes bibliográficas y se desarrolla un
ejercicio basado en la ley de Arrhenius, aplicando logaritmos naturales y el método de
mínimos cuadrados para obtener parámetros predictivos. El modelo resultante presenta
un coeficiente de correlación de 0.9999, indicando una excelente aproximación.
En la discusión, se comparan distintos enfoques de linealización, evidenciando que
algunos omiten cálculos clave como el coeficiente de correlación, lo que limita la
evaluación de la incertidumbre. Finalmente, se concluye que la literatura especializada
ofrece múltiples soluciones técnicas, pero carece de una reflexión epistemológica
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profunda, lo que sugiere la necesidad de nuevas rutas de investigación interdisciplinarias
desde la formación académica.
Palabras claves: proceso, análisis cuantitativo, paradigma, comportamiento
exponencial, mínimos cuadrados.
Abstract.
This article addresses the need to clarify mathematical operations applied to experimental
data with exponential behavior, especially in contexts of limited resources. It proposes
the linearization of exponential equations as a tool for diagnosing predictive behaviors,
highlighting that there is no single method for this, but rather a plurality of approaches
that must be critically evaluated. From a philosophical perspective, the author questions
the overuse of quantitative methods and the reduction of science to a worldview based
solely on "hard data," ignoring complexity and human contexts. It argues that scientific
communication should consider the axiology of public policies and social and
environmental impacts, promoting a more holistic and interdisciplinary vision.
Methodologically, various bibliographic sources are compared, and an exercise based on
the Arrhenius law is developed, applying natural logarithms and the least squares method
to obtain predictive parameters. The resulting model presents a correlation coefficient of
0.9999, indicating an excellent approximation. The discussion compares different
linearization approaches, revealing that some omit key calculations such as the
correlation coefficient, thus limiting the assessment of uncertainty. Finally, it concludes
that while the specialized literature offers numerous technical solutions, it lacks a
profound epistemological reflection, suggesting the need for new, interdisciplinary
research avenues within academic training.
Keywords: process, quantitative analysis, paradigm, exponential behavior, least
squares.
Resumo.
Este artigo aborda a necessidade de esclarecer as operações matemáticas aplicadas a
dados experimentais com comportamento exponencial, especialmente em contextos de
recursos limitados. Propõe a linearização de equações exponenciais como ferramenta
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para diagnosticar comportamentos preditivos, destacando que não existe um único
método para isso, mas sim uma pluralidade de abordagens que devem ser avaliadas
criticamente. De uma perspectiva filosófica, o autor questiona o uso excessivo de
métodos quantitativos e a redução da ciência a uma visão de mundo baseada unicamente
em "dados concretos", ignorando a complexidade e os contextos humanos. Argumenta
que a comunicação científica deve considerar a axiologia das políticas públicas e os
impactos sociais e ambientais, promovendo uma visão mais holística e interdisciplinar.
Metodologicamente, diversas fontes bibliográficas são comparadas e um exercício
baseado na lei de Arrhenius é desenvolvido, aplicando logaritmos naturais e o método
dos mínimos quadrados para obter parâmetros preditivos. O modelo resultante apresenta
um coeficiente de correlação de 0,9999, indicando uma excelente aproximação. A
discussão compara diferentes abordagens de linearização, revelando que algumas
omitem cálculos essenciais, como o coeficiente de correlação, limitando assim a
avaliação da incerteza. Por fim, conclui que, embora a literatura especializada ofereça
inúmeras soluções técnicas, carece de uma reflexão epistemológica profunda, sugerindo
a necessidade de novas linhas de pesquisa interdisciplinares na formação acadêmica.
Palavras-chave: processo, análise quantitativa, paradigma, comportamento exponencial,
mínimos quadrados.
Enviado: 19.09:2021
Aprobado: 05.11:2021
Publicado: 21.12:2021
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Introducción
Resulta cuestionable el fomento de vocaciones científicas si no se retoma la parte de las
discusiones en torno a la construcción del conocimiento verificable y replicable. Cuando
el estudiante de pregrado y aún en menor medida el de posgrado desconocen la
importancia de la génesis y el análisis de las implicaciones de un método termina
reproduciendo mecánicamente los postulados y teorías que se ven reflejadas en la
heurística de un proyecto de investigación. No solo hay ausencia de una actitud crítica en
la elaboración de un proyecto de investigación, sino que hay desconocimiento de las
políticas públicas en lo referente a los recursos financieros disponibles, ya que los
proyectos están siendo controlados por los impactos ambientales y el respeto a los
derechos humanos en diferentes ámbitos económicos.
En este marco sociopolítico donde los valores de respeto a la naturaleza y a los grupos
humanos son los criterios definitorios para la aprobación de recursos financieros, la
cuestión a plantear consiste en ¿qué importancia adquieren los proyectos orientados a
predecir comportamientos que armonicen la axiología de las políticas públicas?
En este contexto, el artículo en cuestión intenta recuperar la parte crítica del origen del
método cuantitativo para desmitificar los abusos a los que ha conducido observar al
mundo como una imagen que crece y decrece según medida en donde el investigador, con
la herramienta de las matemáticas (en específico las estadísticas) se ha convertido en un
gurú o teólogo medieval que predice cualquier fenómeno.
Para revertir esta valoración negativa producida por los métodos que manejan datos y
cifras, como es el caso de las consecuencias del método cuantitativo, de beta positivista,
se propone como objetivo dar claridad a operaciones matemáticas en donde existen datos
experimentales aleatorios que presentan un comportamiento exponencial, donde la
principal prioridad es linealizarlos para diagnosticar un comportamiento predictivo
contrastado con la literatura existente.
La tesis central es que en la misma medida en que no existe un solo procedimiento
matemático para resolver la linealización de ecuaciones exponenciales, sino que existe
una pluralidad de procedimientos para resolver problemas de predicción; en esta medida
el abuso de valorar a los datos por arriba de las experiencias humanas depende de la
orientación de la comunicación que se genere en las ciencias.
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En esta tesis se esgrimen argumentos de la filosofía de la ciencia para la discusión central
acerca del mundo como un laboratorio sujeto a proceso así como las consecuencias
negativas de un tipo de comunicación científica que reduce al mundo, a partir de los
llamados “datos duros”, a un mundo inanimado, carente de vida.
Para revertir estas consecuencias negativas se recaba la literatura actual sobre el tema en
cuestión y se contrasta con el libro especializado para dar cuenta si las bases de datos
experimentales y la academia tributan o no de la visión negativa acerca de los llamados
“datos duros” o por el contrario adoptan en su justa medida la noción de aproximación
que da margen al paradigma de la complejidad para entender el cosmos, la historia y sobre
todo las cosas humanas como son los datos experimentales que son falibles a la capacidad
de la mente humana para comprender su realidad.
Marco teórico
Existe un amplio debate en lo que se refiere a la pertinencia de las metodologías
cuantitativa y cualitativa que no se resuelve en la heurística de un proyecto de
investigación, sino que trasciende a éste, es decir pertenece a los problemas filosóficos
sobre si este universo tiene una naturaleza acrática que resulta inútil medirlo (Callejo y
Gómez, 2015, pp. 89 ss) o bien “la naturaleza obra según un principio organicista en
cuanto proceso de perfeccionamiento” (Whitehead, 1956, pp. 8 ss) que crece y decrece
según un logos medible.
Ambas posturas filosóficas (naturaleza acrática y logos que crece y decrece según
medida) aún perviven en los paradigmas científicos contemporáneos.
Por ejemplo, el paradigma de la complejidad (Morin, 2008, pp. 45 ss) admite que existen
grados de incertidumbre aceptables para medir un tipo de logos que crece y decrece según
tres tipos de comportamiento: azaroso, cíclico o inducido por un tipo de regularidad
impuesta por el hombre.
Ante esta situación, el debate se ha reducido a una crítica de la epistemología taoísta en
contra de la epistemología heraclitiana en el sentido de que la naturaleza tiene grados de
azar como posibilidad real de las cosas para darse libertad de asociación que van desde
las partículas subatómicas hasta la dispersión de los grupos sociales. Lo mismo sucede
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con los ciclos naturales de este planeta que coinciden con los ciclos biológicos de las
comunidades orgánicas, es decir, existe un fuerte cuestionamiento en contra de las
epistemologías procesales.
La idea de proceso proviene del derecho alemán del siglo XVIII, donde proceso
significaba sometimiento a juicio de un acto humano, más tarde con Kant la idea de
proceso de la razón significaba someter a la razón a su propio juicio, a una especie de
autolegislación para que la experiencia fuera debidamente categorizada sin la presunción
de una razón desprovista de realidad (Aguilar, 2016, 71ss).
Sin embargo, los abusos acerca de la idea de proceso tuvieron lugar en el siglo XIX y XX
ya que los científicos sociales identificaron el proceso con la evolución del cosmos, la
historia y las cosas.
Entiéndase con esta palabra [proceso] lo que Adorno-Horkheimer llamaban
Aufklärung, Nietzsche Nilismus, Heidegger Nilismus y Metaphysik, Marx le
llamaba Kapital, Monsieur Homail llamaba progres, Guéunon llamaba régne
de la quantité, Freud llamaba Unbehagen der Kultur, y Spengler (así como
Wittgenstein) llamaba Zivilisation. Y se trataba también del lento movimiento
del absolute Wissen descrito por Hegel (“porque el ello debe penetrar y dirigir
toda la riqueza de la sustancia”). Esto significa recortar dentro de la historia
global una figura de la historia occidental, dentro de la cual se desarrolla una
secuencia de hechos y transformaciones, en condiciones de laboratorio-
(Calasso, 2000, p. 224)
Con estas múltiples direcciones de la palabra proceso se propició un reduccionismo
ontológico-epistemológico que “consiste en disminuir o estrechar el ser de los fenómenos
y su conocimiento a una forma simple y sencilla de concebir la diversidad y complejidad
de la realidad que afecta la compresión integral del objeto de investigación al producir
falacias o seudo concreciones que generan endebles resultados de investigación
científica” (Guadarrama, 2018, p. 26). Pero no solo el abuso de la palabra proceso crea
seudo concreciones sino, sobre todo, dice Calasso:
“paradojas: para que todo fuera proceso, todo tenía que convertirse en cosa.
Cosa es aquello que se puede disponer; proceso es una fuerza capaz de disponer
de cualquier cosa. Y para que todo llegara a ser cosa, todo debía ser definible,
delimitable, en fin separable del todo.” (2000, p. 277)
Lo anterior trajo como consecuencia una rivalidad de paradigmas que hablaban acerca
del postulado según el cual existe un tipo de realidad unificada, tal es el caso del
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compromiso epistémico del paradigma holista, mientras por otro lado, el paradigma
positivista aún sigue asumiendo la existencia de una realidad en sí por medio de la
separación del objeto de estudio respecto al sujeto cognoscente.
La discusión se centra en la regularidad empírica que “(…) expresa una relación entre
variables con un alto contenido observacional” (Delle, et al, 2005, pp. 42) y que puede
medir aparentes anomalías de un sistema o ser parte de un hallazgo en una porción de
realidad determinada a partir de un análisis de datos, es decir se asume una porción de
realidad intervenida por acción humana y esta porción de realidad tiene la capacidad de
autorregularse (visión holística) o por el contrario se requiere de un tipo de proceso que
ordene valores y datos para intervenir en él (visión positivista).
Mientras la visión holística apuesta por una actitud ética, la postura positivista acepta un
tipo de intervención que no necesariamente es ético sino instrumental y pragmático. Esto
último ha causado críticas severas en contra de las consecuencias de la metodología
cuantitativa en el sentido de que los datos no hablan porque su lenguaje es el que le otorga
la teoría. Al respecto, dice Delle: “Lo que pretende hacer pasar por “datos objetivos” y
neutrales es simplemente producto de concepciones teóricas y presupuestos axiológicos
que, en la mayoría de los casos, ni siquiera son planteados explícitamente” (pp. 15) por
los investigadores.
El abuso de la metodología cuantitativa se ha puesto en cuestión debido a la orientación
de las políticas públicas apegadas a derechos humanos y en el peor de los casos es que el
universo regido por los números y las relaciones de valores reduce a la ciencia a una
imagen del mundo, carente de vida.
En este sentido, la pertinencia que cobra aquí la linealización de ecuaciones exponenciales
consiste en demostrar que dicho abuso y reducción de la visión de la ciencia a una imagen
del mundo no depende de las operaciones matemáticas en sí, ni de la metodología
cuantitativa, sino de la comunicación de los datos arrojados y sobre todo de la orientación
cognitiva que la ciencia ha utilizado en la idea de proceso o secuencia para ordenar una
porción de realidad que es accesible para la mente humana sin que necesariamente se la
realidad en sí como la crítica contra el positivismo ha demostrado (Guadarrama 2018,
pp. 117 ss).
Así por ejemplo, en los libros especializados que instruyen a los investigadores en ciernes
los autores y editores apelan a una formación teórica versada en filosofía de las ciencias
para realizar los ejercicios sobre aproximación de funciones como si se tratará de
implementar operaciones matemáticas en un campo determinado orientado por un
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pragmatismo ingenuo que ya no es posible en las actuales condiciones socioeconómicas
reales, obviando en todo momento que la carga interdisciplinaria cada vez ejerce mayor
influencia en una academia determinada como podría ser la academia de matemáticas.
Por tal motivo, lo que interesa aquí es contribuir a dar claridad a operaciones matemáticas
en donde existen datos experimentales aleatorios que presentan un comportamiento
exponencial, donde la principal prioridad es linealizarlos para diagnosticar un
comportamiento predictivo en proyectos ajustados a recursos limitados en la práctica real
en la aprobación de proyectos.
Marco metodológico
Se consultó al azar en la base de datos Gooogle Scholar para referir tres fuentes
bibliográficas y una fuente de libro especializado con el propósito de contrastar los
métodos de linealización para diagnosticar un comportamiento predictivo para datos
experimentales. Específicamente se desarrolló la ecuación de mínimos cuadrados
propuesta por Hurtado y Domínguez (2019, pp. 447) quien deja la ecuación abierta para
la fundamentación no sólo teórica del concepto de aproximación (matemáticamente
demostrable) sino las variantes que puede haber para abordar la linealización de
ecuaciones exponenciales sin que se acepte dogmáticamente un solo procedimiento en la
tabla 1.
Tabla 1.
Recabación de fuentes bibliográficas.
Años
Dossier
Artículo
(Colombia)
Artículo
(México)
Libro
Sf
Aproximación
por mínimos
cuadrados.
2014
Estimación de
incertidumbre…
2015
Aplicación del
método de los
mínimos….
2019
Métodos
numéricos
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Fuente: propia
En lo que se refiere al dossier (Rodríguez, R., sf), se trata de un documento con
orientación académica aplicado en la UAEM con el propósito de facilitar a los estudiantes
la sencillez para la aproximación de mínimos cuadrados sin conexión con los datos
experimentales de un proyecto de investigación previamente aprobado.
En lo que se refiere al artículo “Estimación de incertidumbre para aforo de tanques y
carrotanques basado en ajuste por método de mínimos cuadrados lineales” (Macana, et
alt, 2014) desarrollado por el Instituto de Metodología de Colombia, se plantea un método
de interpolación óptima por ajuste de mínimos cuadrados lineales, el cual es validado
utilizando datos experimentales de estudios previos en tanques horizontales, es decir que
se trata de una publicación postproyecto.
Mientras que la el artículo editado por la UNAM (Díaz, et alt, 2015) “Aplicación del
método de los mínimos cuadrados para la obtención de los parámetros de los modelos de
Henderson y Chung-Pfost” desarrolla modelos matemáticos que predigan los puntos de
equilibrio de humedad de los materiales higroscópicos que habitualmente se transportan,
y la explicación de la obtención de los métodos de cálculo de los parámetros mediante
regresión lineal de los mínimos cuadrados da una comprensión complementaria, lo cual
sugiere que se trata de un proyecto debidamente aprobado (Chapra y Canale, 2015).
Por último, en el libro de Hurtado y Domínguez, 2019, pp. 433 se toma la matemática
correspondiente en base a los logaritmos naturales, se busca la solución de un ejercicio
en base a las siguientes operaciones:
En el estudio de la constante de velocidad de una reacción química a diferentes
temperaturas se obtuvieron los siguientes datos en la tabla 2.:
Tabla 2.
T(k)
293
300
320
340
360
380
400
8.53x10-5
19.1x10-5
1.56x10-3
0.01
0.0522
0.2284
0.8631
Calcule el factor de frecuencia z y la energía de activación E, asumiendo que los datos
experimentales siguen la ley de Arrhenius.
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Se exponen los datos experimentales en el gráfico 1.
Gráfico 1
Linealización de relaciones no lineales.
A la ecuación anterior se aplica logaritmo natural para iniciar el proceso de
linealización.
Aplicando la siguiente propiedad de logaritmo natural ,
resulta:
Como , se obtiene:
Utilizando una operación con fracciones se obtiene
Realizando el despeje correspondiente se obtienen la siguiente ecuación, donde
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
280 300 320 340 360 380 400
T(k) vs k
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Para para localizar se aplica ajuste por mínimos cuadrados, formulando el
resultado en forma matricial.
Se procede a obtener las sumatorias solicitadas en Excel.
Tabla 3.
i
X
Y
x^2
x*y
1
580.14
-5435.5266
336562.42
-3153366.4
2
594
-5089.681
352836
-3023270.5
3
633.6
-4095.0008
401448.96
-2594592.5
4
673.2
-3100.2006
453198.24
-2087055
5
712.8
-2104.6652
508083.84
-1500205.3
6
752.4
-1111.0366
566105.76
-835943.92
7
792
-116.60198
627264
-92348.767
Total
4738.14
-21052.713
3245499.22
-13286782
Sustituyendo los valores solicitados de la forma matricial resulta:
Utilizando la técnica de eliminación de Gauss se obtiene:
Donde:
Por lo tanto
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Se obtuvieron las incógnitas, quedando la ecuación de la siguiente forma:
Ver gráfico 2.
Gráfico 2.
Coeficiente de correlación
Se presenta un juste perfecto donde el calculo de r = 1, significa que la linealización
representa el 100 % de la variabilidad de los datos y si r = 0, el ajuste no presenta alguna
mejora. Se procede a calcular el coeficiente de correlación
Se calcula las sumatorias requeridas para el calculó del Coeficiente de correlación. Ver
tabla 4.
-6000
-5000
-4000
-3000
-2000
-1000
0
350 450 550 650 750 850
x vs y
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Tabla 4.
I
1
5895165.84
1.65210353
2
4335351.06
0.85368355
3
1182591.92
0.4713462
4
8587.76256
0.10828584
5
815165.618
0.58305413
6
3596688.77
0.00256012
7
8357467.07
0.00345265
Total
24191018
3.67448603
Se sustituye los valores solicitados
El siguiente resultado muestra que el modelo explicó el 99.99 % de la incertidumbre
original.
9
Discusión
Una vez contrastadas las operaciones se observó que en el primer ejemplo del dosier de
la UAEM para enseñanza superior, presenta la solución de un ejercicio del tipo
exponencial, donde no hacen uso de logaritmos naturales y no desarrollan la matemática
correspondiente. Además, el ajuste que presentan no tiene el cálculo de coeficiente de
correlación, el cual describe que tan conveniente o no es el ajuste planteado que ayuda a
describir la incertidumbre que tiene el modelo con referencia a los datos obtenidos.
En el segundo ejemplo publicado en Colombia, para el cálculo de la incertidumbre de un
modelo de datos experimentales, se calcula la incertidumbre del modelo, lo cual favorece
para diagnosticar que tan precisa es la aproximación. El modelo que presentan es
propuesto a la deviación estándar, aquí se presenta el coeficiente de correlación que de la
misma forma sirve para diagnosticar el modelo pero de una forma que ayuda a
economizar el tiempo.
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En la publicación de UNAM, el ajuste realizado es elaborado por un procedimiento
distinto al presentado en esta publicación, donde se demuestra que no importa el modelo
o procedimiento a seguir, ya que ambos cumplen la misma función encontrar un modelo
que describa el fenómeno. No presenta el coeficiente de correlación, por lo que dicho
cálculo favorece a describir la incertidumbre del modelo planteado.
Del libro de (Hurtado y Domínguez, 2019, pp. 433) se toma la matemática
correspondiente en base a los logaritmos naturales, se busca la solución de un ejercicio
del mismo libro y se desarrolla un procedimiento paso a paso hasta llegar al modelo,
además se calcula el coeficiente de correlación un contenido que no presenta el libro y
que además es proporcionados por lo que podemos concluir lo siguiente.
Conclusiones
La literatura existente tiene como principal característica la pluralidad de soluciones en
lo que respecta a la linealización de ecuaciones exponenciales, sin embargo no es
consciente de los problemas epistemológicos que yacen en el fondo para la parte de la
heurística de los proyectos sino que se concibe como parte de un conjunto de herramientas
disponibles para las ingenierías, lo cual puede inferirse que ha sido la comunicación de
resultados científico basados en datos experimentales que aún sigue sin recoger contextos
globales como son los impactos negativos en la naturaleza y las políticas públicas
apegadas a derechos humanos que son los criterios decisionales para la aprobación de un
presupuesto y no solo el rendimiento financiero asignado a un instituto o universidad
dedicada a la investigación en ingeniería. Mientras que la bibliografía académica se
encuentra aún más lejos de los problemas planteados por la epistemología y de los
contextos sociopolíticos.
Esto sugiere nuevas rutas de investigación interdisciplinarias promovidas desde la parte
de la formación de pregrado y por supuestos en posgrado dedicar seminarios sobre
comunicación de resultados de proyectos bajo miradas multifactoriales y no solo
apegados a criterios de ahorro financiero.
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